SMILE

07 October 2018

Osservazioni sulla didattica della Matematica

Tratto dall'articolo di Marco Sgrignoli - Alias del 6 ottobre 2018

L'autunno è tomato, la scuola è ripresa da un po', e per migliaia di studenti i problemi di matematica sono tornati di attualità. O meglio: i problemi con la matematica, vissuta come scoglio insormontabile, ciclopica fonte di ansia, inutile vessazione.

Come dar loro torto? L'esperienza scolastica di ognuno di noi è stata costellata di quesiti vessatori e slegati dalla realtà. «La mamma dà a Pierino 10 euro per la spesa. Pierino compra quanto richiesto e torna a casa con un resto di 4 euro. Quanto ha speso Pierino?››.

Direte: «Ma questo è un normalissimo problema matematico!››. Certainente, e il guaio sta proprio qui: nell'aggettivo «matematico›› che sentiamo il bisogno di aﬁancare alpiù generale termine «problema››.

Già, perché come «problema» la situazione descritta sopra è davvero poco credibile: che la mamma guardi lo scontrino!

E se quello sbadato di Pierino l'avesse smarrito? Anche in questo caso il quadro appare troppo roseo per dirsi problematico: le informazioni necessarie sono tutte lì, nero su bianco, la soluzione corretta è chiaramente una sola...

Davvero , vi trovaste in circostanze simili, riterreste di avere un «problema››?

Qualcosa però sta cambiando nella percezione pubblica della matematica e nella sua didattica. Sempre più esposizioni, libri, ﬁlm, giochi mettono al centro il lato creativo, se non ricreativo, della disciplina, e spesso mostrandone le traversie storiche ne mostrano l'anima più ﬂessibile e umana, lontanissima da quel detto mai così inesatto : «la matematica non è un'opinione››.

Dall'altro lato, un numero crescente di insegnanti di ogni ordine scolastico focalizzano le loro lezioni sulla componente attiva, dando spazio a un problem-solving più stimolante, aperto al confronto e alla cooperazione tra alunni, a strategie risolutive molteplici nonché a un ricco lavoro di ricerca di informazioni, costruzione di argomentazioni e produzione di convalide anche attraverso i nuovi media.

Fondamentale per la riuscita di questi approcci didattici è la pratica del laboratorio matematico . Sperimentato fin dagli anni Cinquanta da antesignani come Emma Castelnuovo, dal 2010 è al centro delle Indicazioni Nazionali dalla scuola primaria alla secondaria superiore. Se tutti però sappiamo visualizzare facilmente laboratori di fisica, chimica o biologia, immaginare un laboratorio di matematica, disciplina spesso vista come astratta, strettamente deduttiva e slegata dalla pratica sperimentale, può dare qualche grattacapo in più.

Di che cosa si tratta, dunque?

Nelle parole scelte dall'Unione Matematica Italiana per il documento “Matematica 2003 ”, leggiamo: “Il laboratorio di matematica non è un luogo fisico diverso dalla classe, è piuttosto un insieme strutturato di attività volte alla costruzione di significato degli oggetti matematici. L'ambiente del laboratorio di matematica è in qualche modo assimilabile a quello della bottega rinascimentale, nella quale gli apprendisti imparavano facendo e vedendo fare, comunicando fra loro e con gli esperti".

Un diverso modo, insomma, di vivere l'ora di matematica, “sporcandosi le mani” con materiali e idee ed esplorando in modo libero il panorama matematico a partire da uno o più quesiti accattivanti.

Se il laboratorio matematico propone una reinvenzione del ruolo dello studente, al tempo stesso anche l'insegnante rimette in gioco la sua funzione.

Da primo attore e unico dispensatore di conoscenza, si trasforma infatti in regista delle situazioni proposte, attento osservatore delle dinamiche di gruppo, solleticatore di dubbi e- nell'importantissima fase di discussione finale- mediatore e valorizzatore delle diverse strategie emerse, dalle quali con accorta opera di tessitura saprà far emergere concetti condivisi.

“Più che un insegnante servirebbe un supereroe!”, qualcuno potrà obiettare. Ma da qualche anno molteplici iniziative e figure professionali stanno sviluppandosi proprio per supportare i docenti nell'implementazione di attività laboratoriali. I torinesi di Taxi1729 hanno girato l'Italia coi loro laboratori di sensibilizzazione ai rischi del gioco d'azzardo, mentre i bolognesi di ForMATH e i milanesi di Curvilinea si sono fatti conoscere per la partecipazione a manifestazioni scientifiche come Bergamo Scienza e il Festival della Scienza di Genova, sempre più occasione di incontro tra divulgazione scientifica e didattica scolastica. Si tratta di esperienze innovative, spesso portate avanti da giovani free-lancer che conservano un contatto con la realtà accademica. Indicativi in questo senso sono anche gli esempi dei centri Matematita dell'Università Statale di Milano e MatNet-CQIA di quella di Bergamo, da anni promotori di collaborazioni e interventi nelle scuole del territorio che affiancano fornitura di kit didattici, formazione insegnanti e svolgimento di attività di apprendimento collaborativo nelle classi sotto la guida di tutor.

Le rilevazioni OCSE-PISA, condotte nel20 15 nelle 36 economie di libero mercato più avanzate, pur assegnando agli studenti italiani un tutto sommato confortante sedicesimo posto tra i paesi membri per quanto riguarda le abilità matematiche, segnalano come i risultati mostrino ancora una marcata differenza di genere e performance molto scarse nel problem-solving cooperativo di tipo matematico.

Che il potenziamento della didattica laboratoriale, che mette al centro il lavoro di gruppo e smonta i classici modelli della “studentessa diligente” e dell'”alunno svogliato”, sia la chiave che porterà negli anni venturi a colmare questo divario?

Animazioni originali

19 September 2018

Percezione: la luce ne combina di tutti i colori!

Slide share

biologico
cognitivo
didattico-operativo

Slide share from the Comenius Projects

Math and Science activities

Education to Environment

Outdoor Education and Environmental Responsibility.
“In all things of nature there is something marvellous.” Aristotle (384-322 B.C.)

01 September 2018

A line is a dot that went for a walk

"Una linea è un punto che è andato a fare una passeggiata", Paul Klee!

Le forme più semplici della geometria euclidea sono per Klee un punto di partenza fondamentale per le sue lezioni alla Bauhaus e per la sua stessa ricerca artistica.

Klee, usando colori e chiaroscuri, studia gli effetti della ripetizione ritmica di elementi identici, raggruppò "in modo logico e semplice ma tale che ogni oggetto sia nel suo luogo corretto, e nessuno disturbi l'ordine", secondo quello che riporta nel suo "Pedagocical Sketchbook".

Nessun altro artista ha esplorato il dominio di forme geometriche ed elementari tanto quanto Klee.
Lui usa la geometria, non solo per creare fatti illustrati e puri, ma anche per spiegare la vita organica.

Un esempio di didattica della matematica con l'aiuto di Klee...

Foto originali di G. Scotto di Clemente, Zentrum Klee, Berna.

03 August 2018

L’Homo sapiens arriva dall’Asia?

Dall'articolo di Claudio Tuniz (La Lettura del 29/07/2018)

Museo di storia naturale - Vienna

(...) Dopo la separazione dei nostri antenati da quelli degli scimpanzé, circa 7 milioni di anni fa, in Africa proliferarono molte specie di ominidi fra cui Australopitechi, Ardipitechi e Parantropi. Le prime specie Homo, che sanno costruire strumenti e controllare il fuoco, appaiono fra tre e due milioni di anni or sono. Homo ergaster sarebbe stato il primo a uscire dall'Africa, spingendosi fino in Indonesia, 1,8 milioni di anni fa, e poi in Cina, un milione di anni dopo. Durante il suo lungo viaggio si andava trasformando in Homo erectus.

Insieme all'Uomo di Giava, il nostro Uomo di Pechino era un rappresentante di questa specie. In seguito l'Asia si arricchì di altre specie umane, tra cui i Neanderthal, i Denisovani e i piccoli e bizzarri Homo floresiensis: le ultime due specie rinvenute solo pochi anni fa.

Tutte queste specie, sopravvissute in Eurasia a mille traversie climatiche, sarebbero state soppiantate dai Sapiens usciti dall'Africa 60 mila anni fa, armati di pensiero simbolico e linguaggio complesso. Le scoperte che non confermavano questa storia non venivano prese in considerazione. Fu ad esempio accantonata l'idea che esistessero in Cina forme di transizione tra Erectus e Sapiens, risalenti a centinaia di migliaia di anni fa.

Eppure resti di specie umane ibride furono rinvenute negli anni Ottanta e Novanta, a Dali e a Yunxian, nella Cina centrale, e i relativi studi vennero pubblicati. Ora nuove scoperte impongono di riconsiderare 1'ipotesi di un incrocio fra Sapiens ed Erectus e le date di arrivo di Sapiens in Asia e Oceania.
Nel 2015 vengono scoperti una cinquantina di denti di Homo sapiens in una caverna della Cina meridionale, a Daoxian, in strati geologici di oltre 100 mila anni fa. Crolla quindi l'ipotesi che llesodo dal1'Africa della nostra specie sia iniziato 60 mila anni fa.

Nel 2017 si dimostra che 65 mila anni fa i Sapiens erano già arrivati in Australia. E nel 2018 veniamo a sapere che essi vivevano in Medio Oriente già 180 mila anni fa. In India si scoprono anche loro strumenti litici risalenti a quel periodo. Infine, tre mesi fa è stata trovata una falange fossilizzata di Sapiens, in Arabia Saudita, che risale ad almeno 85 mila anni fa.

Si sta quindi affermando l'idea che i nostri antenati diretti uscirono dall'Africa almeno 120 mila anni fa, disperdendosi a ondate in diverse parti dell'Asia. Il loro arrivo anticipato in Asia aumentava le probabilità di incroci con altre specie asiatiche, ma come spiegare gli ibridi Erectus/Sapiens cinesi più antichi? È possibile che alcuni Sapiens si siano evoluti dall'Erectus locale?

Questo significherebbe ammettere la possibilità di una evoluzione multipla di Sapiens, in contrasto con le teorie accettate. Anche se il Dna degli attuali Sapiens, inclusi i cinesi, suggerirebbe una linea di discendenza da un'antica popolazione africana.

Museo dell'evoluzione - Burgos

La tesi di una origine multipla di Sapiens sta riprendendo quota dopo la recente scoperta, in
Marocco, di resti risalenti a oltre 300 mila anni fa, che vanno ad aggiungersi a quelli di circa
200 mila anni fa del Sudafrica e dell'Africa orientale. Diventa sempre più credibile l'ipotesi
che diversi gruppi e specie umane convivessero, sia in Africa che in Asia, durante i cambi climatici del Pleistocene, dedicandosi a sporadici incroci genetici. I fossili di transizione in Cina potrebbero quinsi essere spiegati con l'elevata biodiversità umana che caratterizzava l'Asia del Pleistocene.

Le analisi genetiche dei Neanderthal e dei Denisovani ci dicono che non mancavano gli incroci tra i Sapiens e altre specie umane. Perfino il minuscolo Homo floresiensis potrebbe essere il risultato di un incrocio fra Sapiens ed Erectus, dato che si è recentemente scoperto, studiando gli incroci fra diverse specie di babbuini, che i loro discendenti, lungi dall'assumere i caratteri degli antenati, possono variare le loro dimensioni anatomiche (per esempio rimpicciolendosi) e assumere caratteristiche del tutto nuove, anche patologiche.

In collaborazione con alcuni colleghi cinesi, María Martinón-Torres, direttrice del Centro Nacional de Investigación sobre la Evolución Humana di Burgos, ha proposto una nuova teoria che tiene conto del ruolo dell'Asia nelle nostre origini. Essa si basa su un approccio ecologico in cui si studiano le dinamiche tra popolazioni «sorgente» ( source) e popolazioni «pozzo›› ( sink). Nelle prime si forma un surplus di individui, favorito da una maggiore disponibilità di risorse. Nelle seconde, la scarsità di risorse abbassa la natalità e riduce la popolazione. Durante i periodi glaciali, l'Asia centrale e le steppe del Nord diventavano poco abitabili, trasformandosi in «pozzi›› per le specie umane, mentre le zone più meridionali offrivano rifugi adatti alla loro sopravvivenza.

Il Medio Oriente, secondo questa teoria, sarebbe divenuto un'occasione per gli incroci inter-specifici e una «sorgente» da cui germogliavano i rami di nuove specie umane. Una volta riaffermatesi condizioni climatiche più favorevoli, intorno a 400 mila anni fa, il ramo evolutivo dei Neanderthal avrebbe popolato tutta l'Eurasia occidentale, quello dei Denisovani l'Asia nordorientale e l'Oceania e le diverse forme «transizionali›› non identificate la Cina. Uno di questi germogli avrebbe potuto raggiungere l'Africa, diventando il ramo dei Sapiens, che poi popolerà tutto il mondo. Ma si tratta di ipotesi, l'ultima delle quali sorprendente. Per confermare queste i dee serve estrarre nuovi dati dai reperti fossili, usando anche i metodi scientifici avanzati messi a disposizione dalla fisica.

Fortunatamente non tutti i resti dell'Uomo di Pechino erano andati perduti nel 1941. Agli scavi degli anni Venti partecipava anche il paleontologo austriaco Otto Zdansky, che scoprì i denti di cui parlavo in apertura. Alcuni furono inviati all'Università di Uppsala e uno fu di nuovo perso nei magazzini del museo, fino al 2015, quando Martin Kundrat, un paleontologo ceco che studiava in quella università, lo ritrovò. Martin contattò il nostro gruppo di Trieste per studiare gli ultimi quattro denti rimasti al mondo della specie dell'Uomo di Pechino.
I denti sono reperti preziosi non solo perché si conservano attraverso le ere geologiche, ma anche perché forniscono informazioni critiche sull'evoluzione umana. La microtomografia ai raggi X permette di analizzare in tre dimensioni le microstrutture dello smalto, della dentina e della camera pulpare, senza interventi invasivi. Vengono prodotti così i Big Data della paleoantropologia virtuale e della morfologia quantitativa, da cui emergono nuove informazioni sul collegamento tra le diverse forme umane che popolavano l'attuale Cina e il resto dell'Asia durante il Pleistocene. (...)

Foto originali di G. Scotto di Clemente

15 July 2018

Ancora su Rinascimento e Geometria

Piero della Francesca: la Madonna del parto

Nel piccolo museo di Monterchi il capolavoro di Piero della Francesca viene illustrato da un punto di vista geometrico. Riporto qui l'aspetto più semplice e facilmente verificabile, cioè l'accurato uso della simmetria assiale nella composizione dell'opera da parte del pittore.

La linea tratteggiata al centro rappresenta l'asse di simmetria che regola il dipinto ed esalta la centralità della figura di Maria.

Questa linea permette di ribaltare le figure a destra e a sinistra tra di loro così come i colori di singole parti del dipinto: gli abiti degli angeli, le ali, i piedi.

Così come i lembi della tenda, le decorazoni della tenda stessa, la pelliccia che fodera l'interno della tenda sono tutti simmetrici rispetto all'asse centrale.

Le linee curve rosse indicano invece le varie giornate di lavoro per la composizione dell'affresco.

Altre considerazioni sono presentate per illustrare lo studio della composizione rispetto alla prospettiva.

L'andamento della tenda è descritto dalle proiezioni ellittiche dei cerchi ricavabili dalla pittura della pelliccia interna.

Il cerchio più alto e quello più basso e le loro proiezioni ellittiche hanno i centri esattamente collegati dall'asse di simmetria.

Viene quindi ricostruita la prospettiva probabilmente sottostante la composizione:

Foto di G. Scotto di Clemente

15 June 2018

Un libro interessante:
MATEMATICA E IMMAGINAZIONE NEL RINASCIMENTO

di Annarita Angelini, Editrice Bibliografica

Riporto alcuni brani dell’introduzione:

“Che le arti figurative e la matematica possano intessere un dialogo serrato e produttivo, e che tale dialogo sia reso possibile da un’immaginazione che serve al pittore non meno che al matematico, era però un’idea ben presente nella cultura che va dal Rinascimento a Leibniz.

Aveva preso consistenza presso i pittori italiani tra Quattro e Cinquecento, i quali, alle regole della geometria avevano affidato la rappresentazione prospettica della terza dimensione sul piano. In anticipo sui filosofi della natura e sui matematici, era stata una generazione di artisti colti a cogliere l’opportunità di conferire l’oggettività della costruzione geometrica alla produzione artistica sollevandola tanto dal rango delle arti meccaniche, quanto dalla casuale ripetitività dell’esperienza di bottega.

Sono anzitutto i pittori e i teorici delle arti del disegno – da Alberti a Dürer, da Leonardo a Piero della Francesca, da Brunelleschi a Daniele Barbaro – a realizzare come la «fantasia prendendo alcuno lume dello intelletto habituato nelle mathematice» divenga capace non solo di imitare con verosimiglianza le «opere evidenti di natura, ma anche di manifestare, con la stessa consistenza volumetrica delle cose naturali, figure presenti nell’immaginazione che, dalla mente, attraverso la mano, l’artista trasferisce sulla tela.

(…)

È infatti immediatamente evidente ai perspettivi come sia la fantasia geometrica del matematico a permettere di rappresentare quella terza dimensione che la superficie bidimensionale del quadro non ammette, e di restituire, di conseguenza, un’immagine massimamente realistica che pure altera il dato sensibile. Un’alterazione evidente, ma non arbitraria proprio perché soggetta a una regola, sottoposta com’è alla «briglia» e al «timone» della geometria.

(…)

Scienza è detto quel discorso mentale il quale ha origine da’ suoi ultimi principi, de’ quali in natura null’altra cosa si può trovare che sia parte di essa scienza, come nella quantità continua, cioè la scienza della geometria, la quale, cominciando dalla superficie de’ corpi, si trova avere origine nella linea, termine di essa superficie […] Nessuna umana investigazione si può dimandare vera scienza, se essa non passa per le matematiche dimostrazioni.

Con questa identificazione della geometria con il valore scientifico del sapere, Leonardo da Vinci inizia il suo Trattato di pittura.

La matematica cessava di essere, o di essere soltanto, una disciplina tra le altre, con una materia propria a sé subiecta (la quantità discreta e continua) e si accreditava (anche) come criterio o come metodo della conoscenza umana in generale. Delle arti figurative e delle tecniche, come sostenevano Leonardo e molti altri artisti a lui contemporanei…”

Un approfondimento sul ruolo della matematica nel Rinascimento...

Usare Cabri Plus II per studiare la geometria nella realtà: un esempio

Foto originali di Scotto di Clemente G: Monte Oliveto Maggiore.