10 April 2018

L'infinito

Gödel e Cohen ci hanno insegnato che, per quanti sforzi si possano fare, alcune verità rimarranno sempre al di là delle nostre possibilità conoscitive. Gli esseri umani non riusciranno mai a capire la natura profonda dell'infinito.
Gli studiosi della cabala avevano compreso questo fatto intuitivamente, senza dimostrazioni matematiche: per loro l’infinito era Dio o cose che appartengono a Dio. Una di queste infinità era la chaluk, la veste infinitamente splendente di Dio, a cui nessun essere umano poteva rivolgere lo sguardo.
Ma a qualcuno è stato concesso di rivolgere un breve sguardo sull'infinito. Alcuni matematici e filosofi dell'antica Grecia, al tempo in cui la civiltà umana stava destandosi, furono in grado di cogliere verità sorprendentemente astratte circa l'infinito, come testimoniano i paradossi di Zenone e i lavori di Archimede, Eudosso e altri.
Galilei, il padre della fisica, dotato di una comprensione quasi soprannaturale del funzionamento dell'universo, fu benedetto verso la fine della sua carriera, perché gli venne concesso di rivolgere uno sguardo fuggevole a una proprietà dell'infinito di tipo discreto. Bolzano, sacerdote e matematico, fu in grado di compiere il salto dall'infinito di tipo discreto all'infinito di tipo continuo, e di comprendere la natura paradossale degli insiemi infiniti di punti della retta reale.
Ma fu Cantor, il creatore solitario della moderna teoria degli insiemi, a comprendere realmente alcune importanti verità relative all'infinito, e a distinguere in diversi tipi le entità che cadono sotto questo concetto. Il tentativo di capire il significato reale dei vari tipi di infinito, di sezionare l’irraggiungibile infinito e sondarne le parti più interne, può averlo fatto uscire di senno.
Ma il lavoro di Cantor aprì una porta del paradiso, una porta che non sarebbe più stato possibile chiudere. Dopo Cantor, infatti, la matematica non sarebbe più stata la stessa. Grazie a una pur parziale comprensione dell’infinito, e sotto il costante ed esplicito pericolo di avventurarsi oltre nella sua rete, nell'ultimo secolo la matematica è diventata una disciplina più coerente e meglio organizzata.
Nel mondo contemporaneo è emersa una disciplina di grandissima importanza: l'informatica; e anche qui, l'infinito e il suo studio (e le limitazioni che ci affliggono quando tentiamo di comprenderne la natura) hanno lasciato il segno.
Nel 1936 Alan Turing dimostrò che nessuna procedura meccanica può risolvere il “problema della fermata”, che consiste nel chiedersi se un dato programma informatico a un certo punto si fermerà. Un numero reale è computabile se esiste un programma per calcolare le sue cifre una per una. Sorprendentemente, quasi tutti i numeri reali non sono computabili. Turing dimostrò che, se si riuscisse a trovare una procedura meccanica per decidere se un dato programma si fermerà, allora sarebbe possibile computare un numero reale che non è computabile, ottenendo una contraddizione. Il problema, e la ricerca che è fiorita negli anni successivi alla dimostrazione di Turing, sono in stretta relazione con il lavoro di Gödel.
Nonostante la loro straordinaria potenza, i computer, come gli esseri umani, sono ostacolati dall'infinito.
In fisica l'idea di infinito diventa importante quando consideriamo l'estensione dell’universo: è finito o infinito? La risposta a questa domanda, naturalmente, non è nota.

Questo brano è tratto dal libro: "Il mistero dell'alef", di A. D. Aczel , Il Saggiatore.

L'immagine di apertura mostra l'equazione di Cantor che mette in relazione tra loro gli infiniti, rappresentati dalla lettera alef dell'alfabeto ebraico, equazione mai dimostrata....l'ipotesi del continuo!



12 March 2018

Didattica della geometria: ritorno al 1979



I temi dei “Nuovi Programmi del 1979” (da ora definiti N.P.) richiamano 3 caratteristiche significative della geometria:
1) La geometria è un modello matematico dello spazio fisico. Cioè gli enti matematici punto, retta, piano, angolo ecc. sono idealizzazioni di punti, rette, piani e angoli fisici e le relazioni che si instaurano tra gli enti geometrici sono molto simili alle relazioni fra i loro corrispondenti fisici.
2) La geometria, in base all'idea espressa da Klein nel suo Programma di Erlangen del 1872, può essere considerata come lo studio di quelle proprietà delle figure che rimangono invariate quando lo spazio è assoggettato a un gruppo di trasformazioni. Da questo punto di vista lo studio delle figure congruenti, nella geometria piana euclidea, rientra nell'analisi delle isometrie del piano.
3) La geometria è intimamente legata all'algebra. Sin da quando Descartes e Fermat inventarono la geometria analitica, sappiamo che i concetti della geometria possono essere espressi sotto forma algebrica. Così un punto del piano euclideo può essere definito come una coppia ordinata (x;y) di numeri reali, una retta nel piano può essere definita dall'equazione  della forma ax+by = c e cosi' via. Ovviamente il discorso può essere visto anche in senso opposto: i concetti algebrici possono cioè essere espressi attraverso concetti geometrici.
4)Non viene invece preso in considerazione dai N.P. l'aspetto della geometria come sistema assiomatico, come sistema cioè in cui vengono poste delle proposizioni primitive, o assiomi, da cui, per deduzione vengono dimostrati i vari teoremi.
Questo orientamento dei N.P. trova giustificazioni di carattere: a) epistemologico, b) psico pedagogico.
a) L'esigenza, sul piano didattico, di partire da un corso a carattere sperimentale dove gli assiomi trovino le loro radici intuitive, è conseguente dal punto di vista epistemologico all'ipotesi che l'ente geometrico si formi nella mente umana per astrazione, a partire da oggetti reali e da esperienze su questo.
Costituisce parte integrante delle teorie psicologiche oggi più comunemente accettate (e ci riferiamo in particolare agii psicologi che si rifanno, almeno come origine a Piaget) l'idea che la base di ogni apprendimento è l’attività del b. che interagisce con il suo ambiente sociale e fisico. Basti pensare ai tre modi attraverso cui, secondo Bruner, la conoscenza è rappresentata (azione - immagine - simbolo) e alle esperienze didattiche operate da Dienes partendo da questo  presupposto. Del resto l’esperienza didattica  quotidiana mostra chiaramente che il b. di 11-12 anni segue con difficolta anche semplici ragionamenti a carattere ipotetico – deduttivo.
L’insegnamento della geometria a livello di scuola dell'obbligo dovrebbe in conclusione mirare a formare quei concetti, a far intravedere quelle relazioni, a introdurre quei tipi di ragionamento che verranno eventualmente approfonditi e sistematizzati all'interno di un sistema assiomatico - deduttivo in seguito e che comunque sono di per sé autosufficienti per far capire, a livello elementare la struttura interna della disciplina. (...)

Brano tratto da qui....

09 March 2018

Alcune osservazioni sulla didattica della chimica

 

Nel passaggio alla scuola superiore in molte situazioni lo studente si trova di fronte ad una frammentazione delle scienze in percorsi che difficilmente possono integrarsi. Soprattutto nel biennio questa specializzazione non è, a mio parere, favorevole ad una omogenea distribuzione dei contenuti.

Resta sempre problematica la separazione delle scienze naturali dalla programmazione della fisica, in cui gli aspetti caratteristici della matematizzazione del metodo scientifico sono stati così importanti da influenzare lo sviluppo stesso, ad esempio, della chimica teorica e quindi della chimica dei processi biologici.

Mentre poter confrontare le caratteristiche algebriche della fisica classica con gli aspetti più probabilistici e statistici di alcune parti della biologia avrebbe forte impatto cognitivo.
Indipendentemente da queste considerazioni epistemologiche, mi pare importante che al centro di processi di continuità siano messi:

1.  lo studio del metodo scientifico
2.  l'integrazione delle scienze
3.  la problematizzazione nel processo di apprendimento
4.  la ciclicità e la reticolarità nei percorsi curricolari  che tutti i punti precedenti contiene e percorre...

... L'articolo completo può essere letto qui.

05 February 2018

Sulla chimica...

‘Chimico’ viene spesso letto come ‘artificiale’, e quindi come ‘dannoso’, in un errore cognitivo carpiato tipico di chi ragiona a senso unico, in modo approssimativo.

 ‘Naturale’ non significa necessariamente ‘innocuo’ (la cicuta e alcuni funghi sono ottimi esempi), e allo stesso modo ‘artificiale’ non significa per forza velenoso, tossico o cancerogeno. Una bella pagnotta è il risultato di una serie di processi chimici artificiali, sconosciuti prima dell’uomo, ma ben poche persone sono morte per aver ingerito del pane.


Ma il discorso è un po’più ampio. Perché già la prima associazione, chimico-artificiale, è assurda. Secondo questa idea, sarebbe artificiale la luce delle lucciole (che viene da un fenomeno chimico, la foto isomerizzazione) e la tela dei ragni (anch’essa un processo chimico, una delle polimerizzazioni più spettacolari del creato). 

La chimica non è altro che la scienza di come il mondo si trasforma nel tempo, studiata con un linguaggio – quello degli atomi e delle molecole – fatto di lettere e parole che non sono visibili ai nostri sensi. E imparare a gestire ciò che va al di là dei sensi non è facile.
Per fare questo, il chimico impara a leggere la natura usando un linguaggio fatto di lettere particolari - gli atomi – che possono combinarsi tra loro in parole e frasi ramificate – le molecole. Non di rado queste molecole hanno un significato ambiguo: esattamente come le frasi del linguaggio comune, il loro effetto dipende dal contesto.  

ll glucosio può essere usato come carburante, reagendo con l’ossigeno per dare energia, ma anche come mattoncino da costruzione: la cellulosa, il materiale costitutivo di cui sono fatte le piante, non è altro se non un polimero del glucosio – tante piccole molecole di zucchero che si tengono per mano, e grazie a questa robusta collaborazione diventano un solido affidabile e tenace.
Ho usato, nella frase precedente, un termine che le persone digiune di scienza spesso adorano usare a casaccio: energia. 

Etimologicamente, significa ‘la capacità di fare lavoro’, ma in chimica la si usa in un altro senso. 

L’energia è ciò che si conserva: l’unica caratteristica di un sistema isolato dal resto del mondo che non può cambiare. Siccome però i sistemi isolati esistono solo nella testa dei chimici e dei fisici, è necessario misurare anche quanto il sistema si trasforma, e dove va a finire questa trasformazione. 

I chimici esprimono questo concetto con il termine ‘entropia’ – ciò che si trasforma (e non significa semplicemente ‘disordine’). Ecco, grazie a questi due termini misteriosi, energia ed entropia, più una terza quantità un po’ meno sconosciuta, la temperatura, chi sa la chimica è in grado di prevedere cosa farà qualsiasi sistema – a patto che li sappia misurare o calcolare, cosa non sempre possibile.
Processi belli e spettacolari, a volte, come l’acqua che cristallizza in ghiaccio, una soluzione che da trasparente diventa d’improvviso viola, o le molecole di butadiene (un gas) che si coalizzano in una gomma. Processi schifosi o pericolosi, altre volte; l’odore degli acidi organici, o il terrificante tanfo dei seleniuri, o l’esplosiva isteria della nitroglicerina.
  
Ecco, lo studio della chimica non vi trasformerà necessariamente in dei serial killer avvelenatori di pozzi. Piuttosto, vi permetterà di collegare un altro mondo invisibile, quello delle molecole, con il palese e inevitabile mondo in cui viviamo. Chiamatelo ambiente, chiamatelo universo, chiamatelo come volete; ma se volete veramente ragionarci sopra, e conoscere o inferire le conseguenze delle azioni chimiche vostre o altrui, non potete ragionarci sopra se non conoscete la chimica.   

Questo testo è stato ricavato dall'articolo di MARCO MALVALDI, Il Fatto Quotidiano del 4 Feb 2018.

Alcuni momenti della storia della Chimica





29 January 2018

Da: "Dove si trova la bellezza segreta della matematica" 

di Claudio Bartocci

 

Il protagonista de "L'uomo senza qualità " (Musil)...

"intento a riflettere su un difficile problema matematico: «Aveva tirato le tende e lavorava con la luce soffusa, come un acrobata che in un circo in penombra, prima che venga ammesso il pubblico, si esibisce in nuovi salti pericolosi davanti a una platea di intenditori. La precisione, la forza e la sicurezza di questo pensiero, che nella vita non hanno uguali, lo colmavano quasi di malinconia»."

Disegno in Logo
La matematica, per Musil, è una attività funambolica del pensiero, nella quale si combinano eleganza e leggerezza,«una delle avventure più appassionanti e incisive dell'esistenza umana» .



La matematica - come mostrano gli esempi di Cantor, Poincaré o Grothendieck - è assimilabile a un’arte, sebbene del tutto particolare, nella quale l`arbitrarietà delle invenzioni si concilia con il rigore delle dimostrazioni e l`immaginazione si accorda con la ragione. 

La bellezza è inscindibile dalla libertà creativa.










26 December 2017

Didattica multimediale e uso delle LIM


Si segnalano alcune unità didattiche prodotte per il software ActivInspire per le LIM Promethean, inserite tra le Risorse disponibili presso il sito Promethean-Classflow
I numeri figurati (aritmo-geometrie) Il pi-greco
I solidi platonici Geometria dinamica e figure auto-somiglianti
L'effetto serra Antartide
Introduzione alla chimica Introduzione alla genetica
Si segnalano alcune unità didattiche prodotte per il software Notebook per le LIM Smartboard, inserite tra le Risorse disponibili presso il sito SMART exchange Italia.
Antartide I frattali
I solidi platonici Il pi greco
DNA e la genetica Chimica: un approccio
L'effetto serra I numeri figurati (aritmo-geometrie)


L'infinito Gödel e Cohen ci hanno insegnato che, per quanti sforzi si possano fare, alcune verità rimarranno sempre al di là dell...