Ritorno al 1979

Disequazioni: risoluzione grafica e problemi di programmazione lineare

Motivazioni:
 1. Le disequazioni sono presentate come continuazione delle osservazioni fatte precedentemente sulla relazione d’ordine in N ...è maggiore di (è minore di)... studiato nel linguaggio comune, con i grafi e con il simbolismo < >. In quest’ambito si porta l’analisi di queste due relazioni nel campo dei numeri reali.
2. Questo contenuto permette di passare dalla frase linguistica a quella algebrico-cartesiana determinandone quindi le soluzioni.
3. Introduce un concetto elementare dell’algebra distinguendone le caratteristiche rispetto all’equazione.
4. Permette di introdurre e risolvere alcuni problemi, se non di uso comune, direttamente collegate a problematiche quotidiane (soprattutto economico-produttive) con una tecnica che permette di unificare tutto l'insieme dei concetti algebrici acquisiti in precedenza.

Queste finalità vanno articolate in obiettivi specifici che possiamo sistemare in quest’ordine:

...la continuazione dell'articolo....

Un grafico risoluzione di un sistema di disequazioni con geogebra:

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Ritorno al 1979: problemi e equazioni

 

L’introduzione dell’algebra nella scuola media presenta problemi e difficoltà diverse per l’alunno, quali ad esempio:

1. Riuscire a risolvere un problema aritmeticamente;
2. Riuscire a tradurre un problema in linguaggio formale;
3. Riuscire a svolgere calcoli non numerici.

Vediamo alcune motivazioni per introdurre concetti e tecniche algebriche nel curricolo matematico:

• l’acquisizione del metodo scientifico passa anche attraverso la capacità di usare il simbolo indipendentemente dall’ente concreto che rappresenta. Diventa fondamentale quindi insegnarecome tradure fatti, fenomeni, entità concrete in simboli astratti e come operare su di essi; 
• d’altra parte il conseguimento di finalità collegate al punto precedente porta ad aiutare lo studente a passare dall’operazionalità concreta a quella formale sottoponendogli esperienze e situazioni stimolanti perquesto scopo.
• Collegato al punto precedente è il fatto che lo studente nella scuola dell’obbligo, di fronte a problemi che coinvolgono sequenze di operazioni, molto spesso è in difficoltà, non riesce proprio perché privo di adeguati schemi e strutture di analisi ad avere una rappresentazione mentale unificante “del problema e della sua risoluzione”. Diventa importante intervenire su queste abilità in una società industrializzata che presenta quotidianamente difficoltà di questo genere.
• Occorre inoltre ribadire che data l’attuale struttura dei programmi della scuola secondaria occorre fornire agli alunni quell’introduzione alle tecniche algebriche di cui in genere non si fa carico la scuola superiore.
• Infine dal punto di vista culturale quest’argomento si presta all’avvio di una discussione storica che descriva in che modo l’ambiente sociale, economico, politico ha interagito con la formazione dei concetti matematici (così come si presta la storia dei numeri o della geometria...).

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Equazioni e foglio elettronico 

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Ritorno al 1979... 

I nuovi programmi della scuola media, corrispondenze e analogie strutturali: alcune osservazioni e riflessioni...

Le indicazioni presenti nei NP a proposito di questo titolo danno un duplice riferimento:
a) presentare in modo preciso alcuni spunti, momenti, situazioni più o meno approfonditi formalmente sui punti cardine dell'algebra moderna; i concetti di relazione -applicazione - operazione e il concetto di struttura di gruppo.
b) Non presentare in modo assiomatizzato il programma di matematica (ci si riferisce a programmi assiomatizzati come quelli della scuola di Bourbaki).

Klee - modello proiettivo - Berna

Nel complesso va colta l'occasione di presentare elementi unificanti di struttura negli argomenti che si presentano senza tuttavia ricondurre a un’unica assiomatizzazione l'intero curricolo matematico.
a) I concetti di cui sopra hanno a che vedere con quello di Insieme, su cui occorre puntualizzare alcune osservazioni, dal punto di vista didattico:

1.per la formazione del concetto d’insieme sono importanti quelle abilità di analisi che permettono di individuare quali caratteristiche in comune deve avere un gruppo di elementi per costituire un insieme;

2.inoltre devono essere svolte quelle abilità di inclusione / esclusione di elementi in un insieme di data caratteristicae quindi quelle abilità che permettono di cogliere la distinzione operata dall'insieme tra il suo interno e l'esterno (universo);

3.infine quelle abilità astrattive atte a far comprendere l'insieme come un ente matematico indipendente dalla natura degli elementi che contiene (ad esempio il significato di insieme vuoto).

b) Il concetto di relazione ci sembra essere un concetto particolarmente utile nell'unificare vari settori curricolari, sia a livello intuitivo sia a uno sufficientemente formalizzato.
Le relazioni, inoltre, mettendo in evidenza uguaglianze e differenze tra oggetti, enti, persone sono alla base di processi di conoscenza. Il saper collegare fatti e situazioni, in altri termini, è una capacità fondamentale.
In modo particolare ci sembra utile sviluppare abilità operative e intellettive collegate con le:

1. relazioni di equivalenza;
2. relazioni d'ordine;

poiché la prima è responsabile della formazione di sistemi classificatori, in un dato insieme;  la seconda è capace di ordinare gli elementi di un dato insieme.

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Foto originale G. Scotto di Clemente

 

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Intelligenza (poco) Artificiale e Pedagogia (tanto) Artificiale?

 

Machine learning, Deep learning, Learning analytics… apprendimento automatico, apprendimento profondo, analisi dell’apprendimento, sono le traduzioni disponibili e, come sempre, non esattamente coincidenti con l’originale.

Se c’è apprendimento, se c’è qualcuno o qualcosa che impara va da sé che c’è qualcuno o qualcosa che insegna. E che cosa insegna?

Domande che entrano direttamente sotto la giurisdizione dell’educazione e della pedagogia anche se in una zona del sapere che richiede altre etichette. Intelligenza artificiale è il contrassegno sotto cui raccogliere i vari learning elencati.

L’Intelligenza Artificiale [IA/ in inglese AI] non è così intelligente come si dice né così artificiale, come vedremo.

È un ente ambiguo ontologicamente di cui si parla e sparla da più di mezzo secolo. Ha una storia dondolante, grandi frustrazioni e grandi entusiasmi. Delusione/euforia. Inverno/primavera. Oggi navighiamo a tutto andare nella seconda. L’Intelligenza Artificiale è il futuro. È fantascienza. Sottometterà gli esseri umani. È una tecnoutopia.
Vincerà la malattia, la morte. E tante altre buone novelle oppure cattive.

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Ritorno al 1979... 

I nuovi programmi della scuola media, la geometria: alcune osservazioni e riflessioni sempre valide

I temi dei Nuovi Programmi del 1979” (da ora definiti N.P.) richiamano 3 caratteristiche significative della geometria:

1) La geometria è un modello matematico dello spazio fisico. Cioè gli enti matematici punto, retta, piano, angolo ecc. sono idealizzazioni di punti, rette, piani e angoli fisici e le relazioni che si instaurano tra gli entig eometrici sono molto simili alle relazioni fra i loro corrispondenti fisici.

 2) La geometria, in base all'idea espressa da Klein nel suo Programma di Erlangen del 1872, può essere considerata come lo studio di quelle proprietà delle figure che rimangono invariate quando lo spazio è assoggettato a un gruppodi trasformazioni. Da questo punto di vista lo studio delle figure congruenti, nellageometria piana euclidea, rientra nell'analisi delle isometrie del piano.

3) La geometria è intimamente legata all'algebra. Sin da quando Descartes eFermat inventarono la geometria analitica, sappiamo che i concetti della geometria possono essere espressi sotto forma algebrica. Così un punto del piano euclideo può essere definito come una coppia ordinata (x;y) di numeri reali, una retta nel piano può essere definita dall'equazione della forma ax+by = c e cosi' via. Ovviamente il discorso può essere visto anche in senso opposto: i  concetti algebrici possono cioè essere espressi attraverso concetti geometrici.

 4) Non viene invece preso in dai N.P. l'aspetto della geometria come sistema assiomatico, come sistema cioè in cui vengono poste delle proposizioni primitive, o assiomi, da cui, per deduzione vengono dimostrati i vari teoremi. Questo orientamento dei N.P. trova giustificazioni di carattere: a) epistemologico, b) psico pedagogico.






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I mammiferi non possono evolvere facilmente...

Noi stiamo sterminando così rapidamente animali e piante che il meccanismo di difesa dell'evoluzione non può tenere il passo. Una team di ricerca calcola che se gli sforzi di conservazione correnti non migliorano, molte specie di mammiferi diverranno estinte durante le prossime cinque decadi mentre la natura avrà bisogno di 3-5 milioni di anni per recuperare.

Ora sta accadendo la sesta estinzione di massa, ma le estinzioni non sono causate da disastri è causata dalla società umana.Una squadra di ricercatori dell'Università di Aarhus e dell'Università di Gothenburg ha calcolato che le estinzioni stanno muovendosi troppo rapidamente rispetto ai meccanismi di difesa dell'evoluzione.

"Grandi mammiferi, come i megateri e le tigri con i denti a sciabola che si estinsero approssimativamente 10,000 anni, erano estremamente evoluti e specifici.Siccome loro avevano pochi parenti vicini, le loro estinzioni vollero dire che interi rami dell'albero evolutivo della Terra furono tagliati."
"Ci sono centinaia di specie di topi, così loro possono superare alcune estinzioni.C'erano solamente quattro specie di tigre con denti a sciabola: tutte estinte."

"Anche se noi vivemmo una volta in un mondo di giganti: castori giganti, armadilli giganti, cervo gigante ecc., noi ora viviamo in un mondo che in modo crescente è impoverito di grandi specie di mammiferi selvatici. I pochi giganti rimanenti, come rinoceronti ed elefanti sono in pericolo di essere annientati molto rapidamente".

L'articolo originale

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Osservazioni sulla didattica della Matematica

 

Tratto dall'articolo di Marco Sgrignoli - Alias del 6 ottobre 2018

L'autunno è tomato, la scuola è ripresa da un po', e per migliaia di studenti i problemi di matematica sono tornati di attualità. O meglio: i problemi con la matematica, vissuta come scoglio insormontabile, ciclopica fonte di ansia, inutile vessazione. 

Come dar loro torto? L'esperienza scolastica di ognuno di noi è stata costellata di quesiti vessatori e slegati dalla realtà. «La mamma dà a Pierino 10 euro per la spesa. Pierino compra quanto richiesto e torna a casa con un resto di 4 euro. Quanto ha speso Pierino?››. 

Direte: «Ma questo è un normalissimo problema matematico!››. Certainente, e il guaio sta proprio qui: nell'aggettivo «matematico›› che sentiamo il bisogno di afiancare alpiù generale termine «problema››.

Già, perché come «problema» la situazione descritta sopra è davvero poco credibile: che la mamma guardi lo scontrino! 

E se quello sbadato di Pierino l'avesse smarrito? Anche in questo caso il quadro appare troppo roseo per dirsi problematico: le informazioni necessarie sono tutte lì, nero su bianco, la soluzione corretta è chiaramente una sola... 

Davvero , vi trovaste in circostanze simili, riterreste di avere un «problema››?

Qualcosa però sta cambiando nella percezione pubblica della matematica e nella sua didattica. Sempre più esposizioni, libri, film, giochi mettono al centro il lato creativo, se non ricreativo, della disciplina, e spesso mostrandone le traversie storiche ne mostrano l'anima più flessibile e umana, lontanissima da quel detto mai così inesatto : «la matematica non è un'opinione››.

Dall'altro lato, un numero crescente di insegnanti di ogni ordine scolastico focalizzano le loro lezioni sulla componente attiva, dando spazio a un problem-solving più stimolante, aperto al confronto e alla cooperazione tra alunni, a strategie risolutive molteplici nonché a un ricco lavoro di ricerca di informazioni, costruzione di argomentazioni e produzione di convalide anche attraverso i nuovi media.

Fondamentale per la riuscita di questi approcci didattici è la pratica del laboratorio matematico . Sperimentato fin dagli anni Cinquanta da antesignani come Emma Castelnuovo, dal 2010 è al centro delle Indicazioni Nazionali dalla scuola primaria alla secondaria superiore. Se tutti però sappiamo visualizzare facilmente laboratori di fisica, chimica o biologia, immaginare un laboratorio di matematica, disciplina spesso vista come astratta, strettamente deduttiva e slegata dalla pratica sperimentale, può dare qualche grattacapo in più. 

Di che cosa si tratta, dunque?

Nelle parole scelte dall'Unione Matematica Italiana per il documento “Matematica 2003 ”, leggiamo: “Il laboratorio di matematica non è un luogo fisico diverso dalla classe, è piuttosto un insieme strutturato di attività volte alla costruzione di significato degli oggetti matematici. L'ambiente del laboratorio di matematica è in qualche modo assimilabile a quello della bottega rinascimentale, nella quale gli apprendisti imparavano facendo e vedendo fare, comunicando fra loro e con gli esperti". 

Un diverso modo, insomma, di vivere l'ora di matematica, “sporcandosi le mani” con materiali e idee ed esplorando in modo libero il panorama matematico a partire da uno o più quesiti accattivanti.

Se il laboratorio matematico propone una reinvenzione del ruolo dello studente, al tempo stesso anche l'insegnante rimette in gioco la sua funzione. 

Da primo attore e unico dispensatore di conoscenza, si trasforma infatti in regista delle situazioni proposte, attento osservatore delle dinamiche di gruppo, solleticatore di dubbi e- nell'importantissima fase di discussione finale- mediatore e valorizzatore delle diverse strategie emerse, dalle quali con accorta opera di tessitura saprà far emergere concetti condivisi.

“Più che un insegnante servirebbe un supereroe!”, qualcuno potrà obiettare. Ma da qualche anno molteplici iniziative e figure professionali stanno sviluppandosi proprio per supportare i docenti nell'implementazione di attività laboratoriali. I torinesi di Taxi1729 hanno girato l'Italia coi loro laboratori di sensibilizzazione ai rischi del gioco d'azzardo, mentre i bolognesi di ForMATH e i milanesi di Curvilinea si sono fatti conoscere per la partecipazione a manifestazioni scientifiche come Bergamo Scienza e il Festival della Scienza di Genova, sempre più occasione di incontro tra divulgazione scientifica e didattica scolastica. Si tratta di esperienze innovative, spesso portate avanti da giovani free-lancer che conservano un contatto con la realtà accademica. Indicativi in questo senso sono anche gli esempi dei centri Matematita dell'Università Statale di Milano e MatNet-CQIA di quella di Bergamo, da anni promotori di collaborazioni e interventi nelle scuole del territorio che affiancano fornitura di kit didattici, formazione insegnanti e svolgimento di attività di apprendimento collaborativo nelle classi sotto la guida di tutor.

Le rilevazioni OCSE-PISA, condotte nel20 15 nelle 36 economie di libero mercato più avanzate, pur assegnando agli studenti italiani un tutto sommato confortante sedicesimo posto tra i paesi membri per quanto riguarda le abilità matematiche, segnalano come i risultati mostrino ancora una marcata differenza di genere e performance molto scarse nel problem-solving cooperativo di tipo matematico.

 Che il potenziamento della didattica laboratoriale, che mette al centro il lavoro di gruppo e smonta i classici modelli della “studentessa diligente” e dell'”alunno svogliato”, sia la chiave che porterà negli anni venturi a colmare questo divario?

Animazioni originali

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Percezione: la luce ne combina di tutti i colori!

 

• Slide share  

La scelta del tema è sembrata significativa rispetto tre punti di vista legati fra loro:

1. biologico
2. cognitivo
3. didattico-operativo

Dal punto di vista biologico potremmo considerare l'argomento riferito all'insieme dell'organismo come sistema complesso attraversato da un flusso di informazioni provenienti dall'interazione con l'ambiente che divengono stimoli e segnali grazie all'esistenza di recettori specializzati. Ma la stimolazione sensoriale è mediata dal cervello, quindi potremmo considerare alcuni aspetti funzionali del cervello stesso. 

Dal punto di vista cognitivo ci possono essere forti analogie tra i processi percettivi e gli altri processi dell'apprendimento: il separare significati da uno sfondo , l'individuare variabili e invarianti, l'orientarsi in un territorio sconosciuto riconoscendo via- via alcuni indizi- concetti, il costruire fra questi relazioni. 

Infine da un punto di vista operativo ma anche metodologico, lavorare sulla percezione consente di affrontare diversi livelli di complessità in qualunque ambiente, naturale o scolastico, di utilizzare da un lato materiale povero, dall'altro strutture di indagine sofisticate ma sempre disponibili come gli organi di senso di ciascuno. 

C'è la possibilità di un forte coinvolgimento personale e nello stesso tempo di strutturare esperienze di laboratorio semplici ma dense di significato con le quali si possono agevolmente formulare e verificare ipotesi e previsioni. 

Ma molto importanti sono anche le connessioni con alcuni ambiti cognitivi della fisica e della tecnologia.  

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Slide share from the Comenius Projects

 

• Math and Science activities 

                    The shift from a static knowledge to a dynamic one.  

• Education to Environment

           Outdoor Education and Environmental Responsibility.
  “In all things of nature there is something marvellous.”  Aristotle (384-322 B.C.)   
  
  
  
  

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A line is a dot that went for a walk

"Una linea è un punto che  è andato a fare una passeggiata", Paul Klee!

Le forme più semplici della geometria euclidea sono per Klee un punto di partenza fondamentale per le sue lezioni alla Bauhaus e per la sua stessa ricerca artistica.

 Klee, usando colori e chiaroscuri, studia gli effetti della ripetizione ritmica di elementi identici, raggruppò "in modo logico e semplice ma tale che ogni oggetto sia nel suo luogo corretto, e nessuno disturbi l'ordine", secondo quello che riporta nel suo "Pedagocical Sketchbook".

Nessun altro artista ha esplorato il dominio di forme geometriche ed elementari tanto quanto Klee.
Lui usa la geometria, non solo per creare fatti illustrati e puri, ma anche per spiegare la vita organica.

Un esempio di didattica della matematica con l'aiuto di Klee...

Foto originali di G. Scotto di Clemente, Zentrum Klee, Berna.

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L’Homo sapiens arriva dall’Asia?

 

Dall'articolo di Claudio Tuniz (La Lettura del 29/07/2018)

 

Museo di storia naturale - Vienna

 (...) Dopo la separazione dei nostri antenati da quelli degli scimpanzé, circa 7 milioni di anni fa, in Africa proliferarono molte specie di ominidi fra cui Australopitechi, Ardipitechi e Parantropi. Le prime specie Homo, che sanno costruire strumenti e controllare il fuoco, appaiono fra tre e due milioni di anni or sono. Homo ergaster sarebbe stato il primo a uscire dall'Africa, spingendosi fino in Indonesia, 1,8 milioni di anni fa, e poi in Cina, un milione di anni dopo. Durante il suo lungo viaggio si andava trasformando in Homo erectus. 

Insieme all'Uomo di Giava, il nostro Uomo di Pechino era un rappresentante di questa specie. In seguito l'Asia si arricchì di altre specie umane, tra cui i Neanderthal, i Denisovani e i piccoli e bizzarri Homo floresiensis: le ultime due specie rinvenute solo pochi anni fa.

Tutte queste specie, sopravvissute in Eurasia a mille traversie climatiche, sarebbero state soppiantate dai Sapiens usciti dall'Africa 60 mila anni fa, armati di pensiero simbolico e linguaggio complesso. Le scoperte che non confermavano questa storia non venivano prese in considerazione. Fu ad esempio accantonata l'idea che esistessero in Cina forme di transizione tra Erectus e Sapiens, risalenti a centinaia di migliaia di anni fa. 

Eppure resti di specie umane ibride furono rinvenute negli anni Ottanta e Novanta, a Dali e a Yunxian, nella Cina centrale, e i relativi studi vennero pubblicati. Ora nuove scoperte impongono di riconsiderare 1'ipotesi di un incrocio fra Sapiens ed Erectus e le date di arrivo di Sapiens in Asia e Oceania.
Nel 2015 vengono scoperti una cinquantina di denti di Homo sapiens in una caverna della Cina meridionale, a Daoxian, in strati geologici di oltre 100 mila anni fa. Crolla quindi l'ipotesi che llesodo dal1'Africa della nostra specie sia iniziato 60 mila anni fa.

Nel 2017 si dimostra che 65 mila anni fa i Sapiens erano già arrivati in Australia. E nel 2018 veniamo a sapere che essi vivevano in Medio Oriente già 180 mila anni fa. In India si scoprono anche loro strumenti litici risalenti a quel periodo. Infine, tre mesi fa è stata trovata una falange fossilizzata di Sapiens, in Arabia Saudita, che risale ad almeno 85 mila anni fa. 

Si sta quindi affermando l'idea che i nostri antenati diretti uscirono dall'Africa almeno 120 mila anni fa, disperdendosi a ondate in diverse parti dell'Asia. Il loro arrivo anticipato in Asia aumentava le probabilità di incroci con altre specie asiatiche, ma come spiegare gli ibridi Erectus/Sapiens cinesi più antichi? È possibile che alcuni Sapiens si siano evoluti dall'Erectus locale? 

Questo significherebbe ammettere la possibilità di una evoluzione multipla di Sapiens, in contrasto con le teorie accettate. Anche se il Dna degli attuali Sapiens, inclusi i cinesi, suggerirebbe una linea di discendenza da un'antica popolazione africana.

Museo dell'evoluzione - Burgos

La tesi di una origine multipla di Sapiens sta riprendendo quota dopo la recente scoperta, in
Marocco, di resti risalenti a oltre 300 mila anni fa, che vanno ad aggiungersi a quelli di circa
200 mila anni fa del Sudafrica e dell'Africa orientale. Diventa sempre più credibile l'ipotesi
che diversi gruppi e specie umane convivessero, sia in Africa che in Asia, durante i cambi climatici del Pleistocene, dedicandosi a sporadici incroci genetici. I fossili di transizione in Cina potrebbero quinsi essere spiegati con l'elevata biodiversità umana che caratterizzava l'Asia del Pleistocene.

Le analisi genetiche dei Neanderthal e dei Denisovani ci dicono che non mancavano gli incroci tra i Sapiens e altre specie umane. Perfino il minuscolo Homo floresiensis potrebbe essere il risultato di un incrocio fra Sapiens ed Erectus, dato che si è recentemente scoperto, studiando gli incroci fra diverse specie di babbuini, che i loro discendenti, lungi dall'assumere i caratteri degli antenati, possono variare le loro dimensioni anatomiche (per esempio rimpicciolendosi) e assumere caratteristiche del tutto nuove, anche patologiche.

In collaborazione con alcuni colleghi cinesi, María Martinón-Torres, direttrice del Centro Nacional de Investigación sobre la Evolución Humana di Burgos, ha proposto una nuova teoria che tiene conto del ruolo dell'Asia nelle nostre origini. Essa si basa su un approccio ecologico in cui si studiano le dinamiche tra popolazioni «sorgente» ( source) e popolazioni «pozzo›› ( sink). Nelle prime si forma un surplus di individui, favorito da una maggiore disponibilità di risorse. Nelle seconde, la scarsità di risorse abbassa la natalità e riduce la popolazione. Durante i periodi glaciali, l'Asia centrale e le steppe del Nord diventavano poco abitabili, trasformandosi in «pozzi›› per le specie umane, mentre le zone più meridionali offrivano rifugi adatti alla loro sopravvivenza.

Il Medio Oriente, secondo questa teoria, sarebbe divenuto un'occasione per gli incroci inter-specifici e una «sorgente» da cui germogliavano i rami di nuove specie umane. Una volta riaffermatesi condizioni climatiche più favorevoli, intorno a 400 mila anni fa, il ramo evolutivo dei Neanderthal avrebbe popolato tutta l'Eurasia occidentale, quello dei Denisovani l'Asia nordorientale e l'Oceania e le diverse forme «transizionali›› non identificate la Cina. Uno di questi germogli avrebbe potuto raggiungere l'Africa, diventando il ramo dei Sapiens, che poi popolerà tutto il mondo. Ma si tratta di ipotesi, l'ultima delle quali sorprendente. Per confermare queste i dee serve estrarre nuovi dati dai reperti fossili, usando anche i metodi scientifici avanzati messi a disposizione dalla fisica. 

Fortunatamente non tutti i resti dell'Uomo di Pechino erano andati perduti nel 1941. Agli scavi degli anni Venti partecipava anche il paleontologo austriaco Otto Zdansky, che scoprì i denti di cui parlavo in apertura. Alcuni furono inviati all'Università di Uppsala e uno fu di nuovo perso nei magazzini del museo, fino al 2015, quando Martin Kundrat, un paleontologo ceco che studiava in quella università, lo ritrovò. Martin contattò il nostro gruppo di Trieste per studiare gli ultimi quattro denti rimasti al mondo della specie dell'Uomo di Pechino.
I denti sono reperti preziosi non solo perché si conservano attraverso le ere geologiche, ma anche perché forniscono informazioni critiche sull'evoluzione umana. La microtomografia ai raggi X permette di analizzare in tre dimensioni le microstrutture dello smalto, della dentina e della camera pulpare, senza interventi invasivi. Vengono prodotti così i Big Data della paleoantropologia virtuale e della morfologia quantitativa, da cui emergono nuove informazioni sul collegamento tra le diverse forme umane che popolavano l'attuale Cina e il resto dell'Asia durante il Pleistocene. (...)

Foto originali di G. Scotto di Clemente

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Ancora su Rinascimento e Geometria

Piero della Francesca: la Madonna del parto

Nel piccolo museo di Monterchi il capolavoro di Piero della Francesca viene illustrato da un punto di vista geometrico. Riporto qui l'aspetto più semplice e facilmente verificabile, cioè l'accurato uso della simmetria assiale nella composizione dell'opera da parte del pittore.

La linea tratteggiata al centro rappresenta l'asse di simmetria che regola il dipinto ed esalta la centralità della figura di Maria. 

Questa linea permette di ribaltare le figure a destra e a sinistra tra di loro così come i colori di singole parti del dipinto: gli abiti degli angeli, le ali, i piedi.

Così come i lembi della tenda, le decorazoni della tenda stessa, la pelliccia che fodera l'interno della tenda sono tutti simmetrici rispetto all'asse centrale.

Le linee curve rosse indicano invece le varie giornate di lavoro per la composizione dell'affresco.

Altre considerazioni sono presentate per illustrare lo studio della composizione rispetto alla prospettiva.

 L'andamento della tenda è descritto dalle proiezioni ellittiche dei cerchi ricavabili dalla pittura della pelliccia interna.

Il cerchio più alto e quello più basso e le loro proiezioni ellittiche hanno i centri esattamente collegati dall'asse di simmetria.

Viene quindi ricostruita la prospettiva probabilmente sottostante la composizione:

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Foto di G. Scotto di Clemente

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Un libro interessante:
MATEMATICA E IMMAGINAZIONE NEL RINASCIMENTO

 di Annarita Angelini, Editrice Bibliografica

 

Riporto alcuni brani dell’introduzione:

“Che le arti figurative e la matematica possano intessere un dialogo serrato e produttivo, e che tale dialogo sia reso possibile da un’immaginazione che serve al pittore non meno che al matematico, era però un’idea ben presente nella cultura che va dal Rinascimento a Leibniz.

Aveva preso consistenza presso i pittori italiani tra Quattro e Cinquecento, i quali, alle regole della geometria avevano affidato la rappresentazione prospettica della terza dimensione sul piano. In anticipo sui filosofi della natura e sui matematici, era stata una generazione di artisti colti a cogliere l’opportunità di conferire l’oggettività della costruzione geometrica alla produzione artistica sollevandola tanto dal rango delle arti meccaniche, quanto dalla casuale ripetitività dell’esperienza di bottega.

Sono anzitutto i pittori e i teorici delle arti del disegno – da Alberti a Dürer, da Leonardo a Piero della Francesca, da Brunelleschi a Daniele Barbaro – a realizzare come la «fantasia prendendo alcuno lume dello intelletto habituato nelle mathematice» divenga capace non solo di imitare con verosimiglianza le «opere evidenti di natura, ma anche di manifestare, con la stessa consistenza volumetrica delle cose naturali, figure presenti nell’immaginazione che, dalla mente, attraverso la mano, l’artista trasferisce sulla tela.

(…)

È infatti immediatamente evidente ai perspettivi come sia la fantasia geometrica del matematico a permettere di rappresentare quella terza dimensione che la superficie bidimensionale del quadro non ammette, e di restituire, di conseguenza, un’immagine massimamente realistica che pure altera il dato sensibile. Un’alterazione evidente, ma non arbitraria proprio perché soggetta a una regola, sottoposta com’è alla «briglia» e al «timone» della geometria.

(…)

Scienza è detto quel discorso mentale il quale ha origine da’ suoi ultimi principi, de’ quali in natura null’altra cosa si può trovare che sia parte di essa scienza, come nella quantità continua, cioè la scienza della geometria, la quale, cominciando dalla superficie de’ corpi, si trova avere origine nella linea, termine di essa superficie […] Nessuna umana investigazione si può dimandare vera scienza, se essa non passa per le matematiche dimostrazioni.

 Con questa identificazione della geometria con il valore scientifico del sapere, Leonardo da Vinci inizia il suo Trattato di pittura.

La matematica cessava di essere, o di essere soltanto, una disciplina tra le altre, con una materia propria a sé subiecta (la quantità discreta e continua) e si accreditava (anche) come criterio o come metodo della conoscenza umana in generale. Delle arti figurative e delle tecniche, come sostenevano Leonardo e molti altri artisti a lui contemporanei…”


 Un approfondimento sul ruolo della matematica nel Rinascimento...

Usare Cabri Plus II per studiare la geometria nella realtà: un esempio

Foto originali di Scotto di Clemente G: Monte Oliveto Maggiore.

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Le mani sull’infanzia per creare una scuola di bambini consumatori

 

Piero Bevilacqua, il Manifesto 21.04.2018 

Estraggo alcuni brani dell'articolo di Bevilacqua:

...Dal 1980 al 2004 gli investimenti in pubblicità destinata allinfanzia erano passati da 15 milioni di dollari lanno a 15 miliardi.
Non è naturalmente un fenomeno americano. La Psicologa Susan Linn in un saggio del 2010 del Worldwatch Institute dedicato alla «commercializzazione nella vita dei bambini», ha rilevato che le sole industrie alimentari spendono circa 1,9 miliardi di dollari l’anno in campagne di marketing mirate ai bambini di tutto il mondo. 

Non è una pratica senza conseguenze: «L’organizzazione mondiale della sanità e altre istituzioni per la salute pubblica identificano nel marketing rivolto all’infanzia un fattore rilevante dell’epidemia globale di obesità infantile».

...Tutta la cultura capitalistica dei nostri anni cerca con feroce determinazione in ogni angolo del vivente materia da cui estrarre profitto. E trova sempre solerti figure intellettuali pronti a fornire motivazioni di utilità generale. 

Negli Usa è esplosa la questione dell’abolizione nelle scuole della pausa di ricreazione. La motivazione è stata quella di rendere more productive, più produttivi i bambini, che devono impiegare tutto il tempo scolastico ad apprendere.
Eppure è noto, e non da oggi, che proprio il gioco, tra i bambini, è una esperienza formativa decisiva
per il loro futuro e per il futuro di tutti noi. 

«La spiritualità ricorda ancora la Linn e i progressi scientifici e artistici si fondano tutti sul gioco. Il gioco promuove attributi essenziali a una popolazione democratica, quali la curiosità, il ragionamento, l’empatia, la condivisione, la cooperazione e un senso di competenza, cioè la convinzione che un individuo possa cambiare le cose in questo mondo». 

il gioco sta sparendo nel XXI secolo, sostituito da attività istituzionalizzate e disciplinate (scuole, palestre), dalla fruizione passiva della tv, dagli intrattenimenti digitali sempre più pervasivi, al punto da creare ormai patologie di massa.

...L’Europa entra più esplicitamente in campo per forgiare esemplarmente la nostra infanzia. 

Non per creare zelanti e totalitari consumatori, ma addirittura volitivi e vincenti imprenditori. 

In un documento di 40 pagine elaborato dal Joint Research Centre dell’Unione europea,
e varato nel 2016, il cosiddetto Entrecomp: the entrepreneurship competence, framework più
importante delle 8 competenze europee, che il Miur esorta ad assumere come riferimento teorico
anche per la scuola italiana, è la capacità di fare impresa.

Per intenderci e per usare le espressioni dei nuovi manager che si stanno impossessando della
scuola europea, occorre fare apprendere come si diventa capitalisti di successo «attraverso metodi
di insegnamento e apprendimento nuovi e creativi fin dalla scuola elementare».

Già i bambini di 5 o 6 anni dovrebbero apprendere ad «assumersi rischi», «prendere iniziative»,
imparare a «mobilitare gli altri», ecc. 

Si tratta, di un passo in avanti, rispetto alle esortazioni degli anni scorsi, da parte del ministero dell’Istruzione, a fornirsi di «competenze trasferibili», soprattutto quelle digitali, «che i datori di lavoro esigono sempre di più». 

Dalla a scuola a servizio delle imprese, alla scuola che ha per fine ultimo quello di creare imprese.
Non ci sono dubbi. 

Siamo di fronte a un assurdo e strisciante progetto di assoggettamento totalitario della base formativa del cittadino europeo alle ragioni dell’economia capitalistica. 

Il pensiero unico vuol crearsi le basi antropologiche della propria infinita riproduzione. Ma che società sarà quella popolata da un uniforme esercito di imprenditori?...

L'infinito

Gödel e Cohen ci hanno insegnato che, per quanti sforzi si possano fare, alcune verità rimarranno sempre al di là delle nostre possibilità conoscitive. Gli esseri umani non riusciranno mai a capire la natura profonda dell'infinito.
Gli studiosi della cabala avevano compreso questo fatto intuitivamente, senza dimostrazioni matematiche: per loro l’infinito era Dio o cose che appartengono a Dio. Una di queste infinità era la chaluk, la veste infinitamente splendente di Dio, a cui nessun essere umano poteva rivolgere lo sguardo.

Ma a qualcuno è stato concesso di rivolgere un breve sguardo sull'infinito. Alcuni matematici e filosofi dell'antica Grecia, al tempo in cui la civiltà umana stava destandosi, furono in grado di cogliere verità sorprendentemente astratte circa l'infinito, come testimoniano i paradossi di Zenone e i lavori di Archimede, Eudosso e altri.

Galilei, il padre della fisica, dotato di una comprensione quasi soprannaturale del funzionamento dell'universo, fu benedetto verso la fine della sua carriera, perché gli venne concesso di rivolgere uno sguardo fuggevole a una proprietà dell'infinito di tipo discreto. Bolzano, sacerdote e matematico, fu in grado di compiere il salto dall'infinito di tipo discreto all'infinito di tipo continuo, e di comprendere la natura paradossale degli insiemi infiniti di punti della retta reale.

Ma fu Cantor, il creatore solitario della moderna teoria degli insiemi, a comprendere realmente alcune importanti verità relative all'infinito, e a distinguere in diversi tipi le entità che cadono sotto questo concetto. Il tentativo di capire il significato reale dei vari tipi di infinito, di sezionare l’irraggiungibile infinito e sondarne le parti più interne, può averlo fatto uscire di senno.

Ma il lavoro di Cantor aprì una porta del paradiso, una porta che non sarebbe più stato possibile chiudere. Dopo Cantor, infatti, la matematica non sarebbe più stata la stessa. Grazie a una pur parziale comprensione dell’infinito, e sotto il costante ed esplicito pericolo di avventurarsi oltre nella sua rete, nell'ultimo secolo la matematica è diventata una disciplina più coerente e meglio organizzata.

Nel mondo contemporaneo è emersa una disciplina di grandissima importanza: l'informatica; e anche qui, l'infinito e il suo studio (e le limitazioni che ci affliggono quando tentiamo di comprenderne la natura) hanno lasciato il segno.

Nel 1936 Alan Turing dimostrò che nessuna procedura meccanica può risolvere il “problema della fermata”, che consiste nel chiedersi se un dato programma informatico a un certo punto si fermerà. Un numero reale è computabile se esiste un programma per calcolare le sue cifre una per una. Sorprendentemente, quasi tutti i numeri reali non sono computabili. Turing dimostrò che, se si riuscisse a trovare una procedura meccanica per decidere se un dato programma si fermerà, allora sarebbe possibile computare un numero reale che non è computabile, ottenendo una contraddizione. Il problema, e la ricerca che è fiorita negli anni successivi alla dimostrazione di Turing, sono in stretta relazione con il lavoro di Gödel.
Nonostante la loro straordinaria potenza, i computer, come gli esseri umani, sono ostacolati dall'infinito.
In fisica l'idea di infinito diventa importante quando consideriamo l'estensione dell’universo: è finito o infinito? La risposta a questa domanda, naturalmente, non è nota.

Questo brano è tratto dal libro: "Il mistero dell'alef", di A. D. Aczel , Il Saggiatore.

L'immagine di apertura mostra l'equazione di Cantor che mette in relazione tra loro gli infiniti, rappresentati dalla lettera alef dell'alfabeto ebraico, equazione mai dimostrata....l'ipotesi del continuo!

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Didattica della geometria: ritorno al 1979

I temi dei “Nuovi Programmi del 1979” (da ora definiti N.P.) richiamano 3 caratteristiche significative della geometria:

1) La geometria è un modello matematico dello spazio fisico. Cioè gli enti matematici punto, retta, piano, angolo ecc. sono idealizzazioni di punti, rette, piani e angoli fisici e le relazioni che si instaurano tra gli enti geometrici sono molto simili alle relazioni fra i loro corrispondenti fisici.

2) La geometria, in base all'idea espressa da Klein nel suo Programma di Erlangen del 1872, può essere considerata come lo studio di quelle proprietà delle figure che rimangono invariate quando lo spazio è assoggettato a un gruppo di trasformazioni. Da questo punto di vista lo studio delle figure congruenti, nella geometria piana euclidea, rientra nell'analisi delle isometrie del piano.

3) La geometria è intimamente legata all'algebra. Sin da quando Descartes e Fermat inventarono la geometria analitica, sappiamo che i concetti della geometria possono essere espressi sotto forma algebrica. Così un punto del piano euclideo può essere definito come una coppia ordinata (x;y) di numeri reali, una retta nel piano può essere definita dall'equazione  della forma ax+by = c e cosi' via. Ovviamente il discorso può essere visto anche in senso opposto: i concetti algebrici possono cioè essere espressi attraverso concetti geometrici.

4)Non viene invece preso in considerazione dai N.P. l'aspetto della geometria come sistema assiomatico, come sistema cioè in cui vengono poste delle proposizioni primitive, o assiomi, da cui, per deduzione vengono dimostrati i vari teoremi.

Questo orientamento dei N.P. trova giustificazioni di carattere: a) epistemologico, b) psico pedagogico.

a) L'esigenza, sul piano didattico, di partire da un corso a carattere sperimentale dove gli assiomi trovino le loro radici intuitive, è conseguente dal punto di vista epistemologico all'ipotesi che l'ente geometrico si formi nella mente umana per astrazione, a partire da oggetti reali e da esperienze su questo.

Costituisce parte integrante delle teorie psicologiche oggi più comunemente accettate (e ci riferiamo in particolare agii psicologi che si rifanno, almeno come origine a Piaget) l'idea che la base di ogni apprendimento è l’attività del b. che interagisce con il suo ambiente sociale e fisico. Basti pensare ai tre modi attraverso cui, secondo Bruner, la conoscenza è rappresentata (azione - immagine - simbolo) e alle esperienze didattiche operate da Dienes partendo da questo  presupposto. Del resto l’esperienza didattica  quotidiana mostra chiaramente che il b. di 11-12 anni segue con difficolta anche semplici ragionamenti a carattere ipotetico – deduttivo.

L’insegnamento della geometria a livello di scuola dell'obbligo dovrebbe in conclusione mirare a formare quei concetti, a far intravedere quelle relazioni, a introdurre quei tipi di ragionamento che verranno eventualmente approfonditi e sistematizzati all'interno di un sistema assiomatico - deduttivo in seguito e che comunque sono di per sé autosufficienti per far capire, a livello elementare la struttura interna della disciplina. (...)

Brano tratto da qui....

Alcune osservazioni sulla didattica della chimica

 

Nel passaggio alla scuola superiore in molte situazioni lo studente si trova di fronte ad una frammentazione delle scienze in percorsi che difficilmente possono integrarsi. Soprattutto nel biennio questa specializzazione non è, a mio parere, favorevole ad una omogenea distribuzione dei contenuti.

Resta sempre problematica la separazione delle scienze naturali dalla programmazione della fisica, in cui gli aspetti caratteristici della matematizzazione del metodo scientifico sono stati così importanti da influenzare lo sviluppo stesso, ad esempio, della chimica teorica e quindi della chimica dei processi biologici.

Mentre poter confrontare le caratteristiche algebriche della fisica classica con gli aspetti più probabilistici e statistici di alcune parti della biologia avrebbe forte impatto cognitivo.
Indipendentemente da queste considerazioni epistemologiche, mi pare importante che al centro di processi di continuità siano messi:

1.  lo studio del metodo scientifico

2.  l'integrazione delle scienze

3.  la problematizzazione nel processo di apprendimento

4.  la ciclicità e la reticolarità nei percorsi curricolari  che tutti i punti precedenti contiene e percorre...

... L'articolo completo può essere letto qui.

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Sulla chimica...

‘Chimico’ viene spesso letto come ‘artificiale’, e quindi come ‘dannoso’, in un errore cognitivo carpiato tipico di chi ragiona a senso unico, in modo approssimativo.

 ‘Naturale’ non significa necessariamente ‘innocuo’ (la cicuta e alcuni funghi sono ottimi esempi), e allo stesso modo ‘artificiale’ non significa per forza velenoso, tossico o cancerogeno. Una bella pagnotta è il risultato di una serie di processi chimici artificiali, sconosciuti prima dell’uomo, ma ben poche persone sono morte per aver ingerito del pane.

Ma il discorso è un po’più ampio. Perché già la prima associazione, chimico-artificiale, è assurda. Secondo questa idea, sarebbe artificiale la luce delle lucciole (che viene da un fenomeno chimico, la foto isomerizzazione) e la tela dei ragni (anch’essa un processo chimico, una delle polimerizzazioni più spettacolari del creato). 

La chimica non è altro che la scienza di come il mondo si trasforma nel tempo, studiata con un linguaggio – quello degli atomi e delle molecole – fatto di lettere e parole che non sono visibili ai nostri sensi. E imparare a gestire ciò che va al di là dei sensi non è facile.

Per fare questo, il chimico impara a leggere la natura usando un linguaggio fatto di lettere particolari - gli atomi – che possono combinarsi tra loro in parole e frasi ramificate – le molecole. Non di rado queste molecole hanno un significato ambiguo: esattamente come le frasi del linguaggio comune, il loro effetto dipende dal contesto.  

ll glucosio può essere usato come carburante, reagendo con l’ossigeno per dare energia, ma anche come mattoncino da costruzione: la cellulosa, il materiale costitutivo di cui sono fatte le piante, non è altro se non un polimero del glucosio – tante piccole molecole di zucchero che si tengono per mano, e grazie a questa robusta collaborazione diventano un solido affidabile e tenace.

Ho usato, nella frase precedente, un termine che le persone digiune di scienza spesso adorano usare a casaccio: energia. 

Etimologicamente, significa ‘la capacità di fare lavoro’, ma in chimica la si usa in un altro senso. 

L’energia è ciò che si conserva: l’unica caratteristica di un sistema isolato dal resto del mondo che non può cambiare. Siccome però i sistemi isolati esistono solo nella testa dei chimici e dei fisici, è necessario misurare anche quanto il sistema si trasforma, e dove va a finire questa trasformazione. 

I chimici esprimono questo concetto con il termine ‘entropia’ – ciò che si trasforma (e non significa semplicemente ‘disordine’). Ecco, grazie a questi due termini misteriosi, energia ed entropia, più una terza quantità un po’ meno sconosciuta, la temperatura, chi sa la chimica è in grado di prevedere cosa farà qualsiasi sistema – a patto che li sappia misurare o calcolare, cosa non sempre possibile.
Processi belli e spettacolari, a volte, come l’acqua che cristallizza in ghiaccio, una soluzione che da trasparente diventa d’improvviso viola, o le molecole di butadiene (un gas) che si coalizzano in una gomma. Processi schifosi o pericolosi, altre volte; l’odore degli acidi organici, o il terrificante tanfo dei seleniuri, o l’esplosiva isteria della nitroglicerina.

  

Ecco, lo studio della chimica non vi trasformerà necessariamente in dei serial killer avvelenatori di pozzi. Piuttosto, vi permetterà di collegare un altro mondo invisibile, quello delle molecole, con il palese e inevitabile mondo in cui viviamo. Chiamatelo ambiente, chiamatelo universo, chiamatelo come volete; ma se volete veramente ragionarci sopra, e conoscere o inferire le conseguenze delle azioni chimiche vostre o altrui, non potete ragionarci sopra se non conoscete la chimica.   

Questo testo è stato ricavato dall'articolo di MARCO MALVALDI, Il Fatto Quotidiano del 4 Feb 2018.

Alcuni momenti della storia della Chimica

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Da: "Dove si trova la bellezza segreta della matematica" 

di Claudio Bartocci

 

Il protagonista de "L'uomo senza qualità " (Musil)...

"intento a riflettere su un difficile problema matematico: «Aveva tirato le tende e lavorava con la luce soffusa, come un acrobata che in un circo in penombra, prima che venga ammesso il pubblico, si esibisce in nuovi salti pericolosi davanti a una platea di intenditori. La precisione, la forza e la sicurezza di questo pensiero, che nella vita non hanno uguali, lo colmavano quasi di malinconia»."

Disegno in Logo

La matematica, per Musil, è una attività funambolica del pensiero, nella quale si combinano eleganza e leggerezza,«una delle avventure più appassionanti e incisive dell'esistenza umana» .

La matematica - come mostrano gli esempi di Cantor, Poincaré o Grothendieck - è assimilabile a un’arte, sebbene del tutto particolare, nella quale l`arbitrarietà delle invenzioni si concilia con il rigore delle dimostrazioni e l`immaginazione si accorda con la ragione. 

La bellezza è inscindibile dalla libertà creativa.

Il testo originale

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